Mateko: října 2012

čtvrtek 25. října 2012

neděle 21. října 2012

Extrémy funkce dvou proměnných

Lokální extrémy

Postup při určování lokálních extrémů:

1. Vypočítáme všechny parciální derivace prvního a druhého řádu dané funkce.

2. Sestavíme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé x, y:

Existuje-li řešení, má daná funkce stacionární body.

3. Určíme hodnoty parciálních derivací druhého řádu ve stacionárních bodech

4. Sestavíme determinant.

5. Je-li determinant kladný, určíme druh extrému podle znaménka derivace

Příklad:

Vázané extrémy

Postup při určování vázaných extrémů:

1. Máme funkci dvou proměnných z = f(x,y) a podmínku y = g(x).

2. Do dané funkce dosadíme g(x) za y a dostaneme funkci jedné proměnné z = f(x, g(x)), pro kterou hledámé lokální extrémy.

Příklad:

pátek 19. října 2012

Akumulace kapitálu

Příklad:

Část A

Je dána investiční funkce I (t) = 9 t^1/2.

Jaká je její příslušná funkce kapitálová?

Část B

Je dána investiční funkce I (t) = 9 t^1/2.

Je dána počáteční hodnota kapitálu K(0) = 20.

Jaká je velikost AKUMULOVNÉHO kapitálu
za jedno období, tj. od t₁ = 0do t₂ = 1,
spočteného POMOCÍ KAPITÁLOVÉ FUNKCE?

Část C

Je dána investiční funkce I (t) = 9 t^1/2.

Je dána počáteční hodnota kapitálu K(0) = 20.

Jaká je velikost AKUMULOVNÉHO kapitálu
za jedno období, tj. od t₁ = 0do t₂ = 1,
spočteného BEZ PRVOTNÍ ZNALOSTI kapitálové funkce, tj. na základě zadané INVESTIČNÍ FUNKCE.

neděle 14. října 2012

sobota 13. října 2012

Bod zvratu

Grafické znázornění

Grafy jsou vytvořeny v mobilním telefonu, pomocí aplikace "Free Graphing Calculator", tečna je poté domalována v PC pomocí "Malování".

Odkaz na aplikaci: https://itunes.apple.com/us/app/free-graphing-calculator/id378009553?mt=8

Hledání extrému funkce

Průběh funkce

Funkce rostoucí a klesající na daném intervalu

Je-li první derivace funkce v bodě A > 0 pak je tato funkce v bodě A rostoucí.
Je-li první derivace funkce v bodě A < 0 pak je tato funkce v bodě A klesající.

Funkce je rostoucí resp. klesající v daném intervalu, je-li rostoucí reps. klesající v každém bodě daného intervalu.

Postup pro vyšetření monotónnosti(rostoucí, klesající) funkce:

Výpočet první derivace.
Určení nulových bodů první derivace. Pak známe lokální maxima a minima funkce.
Pomocí nulových bodů stanovíme intervaly monotónnosti.
Nakonec podle hodnoty první derivace rozhodneme o růstu nebo poklesu funkce na všech intervalech funkce.

Lokální extrémy funkce

Je-li f'(x₀) = 0 a f''(x) > 0 má funkce v bodě x₀ lokální minimum.
Je-li f'(x₀) = 0 a f''(x) < 0 má funkce v bodě x₀ lokální maximum.

Vrcholy grafu funkce

nejdříve vypočítáme první derivaci funkce
výslednou funkci položíme rovnu nule
výsledkem rovnice jsou stacionární body
dosadíme stacionární body do původní funkce - dostaneme y-nové souřadnice a zjistíme souřadnice vrcholů funkce

Konvexnost a konkávnost funkce

funkce f(x) je v bodě A konkávní je-li druhá derivace funkce v bodě A <0.
funkce f(x) je v bodě A konvexní je-li druhá derivace funkce v bodě A >0.

Inflexní bod

=> Takový bod, ve kterém se funkce mění z konvexní na konkávní - nebo naopak z konkávní na konvexní.

- Inflexní bod x₀ je nulovým bodem druhé derivace funkce. Druhá derivace mění při průchodu x₀ znaménko.

-Zároveň musí existovat třetí derivace různá od nuly.

Příklad:

Na stránce http://wood.mendelu.cz/math/maw-html/?lang=cs&form=prubeh si můžete zkontrolovat zprávnost výpočtu průběhu funkce.

Derivace je základní pojem v diferenciálním počtu, má významnou roli například při určování průběhu funkce.

Definice derivace
Historické definice: Vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y odpovídá změně jiné proměnné x, na které má ona proměnná nějakou funkční závislost.

Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“.